Gambar Sampul Matematika · Bab II Matriks
Matematika · Bab II Matriks
Rosihan

22/08/2021 09:57:59

SMA 12 K-13

Lihat Katalog Lainnya
Daftar Isi
 Bab I Program LinearBab II MatriksBab III Barisan dan Deret
Halaman
29MatriksMatriksIIBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri suatumatriks;2. menuliskan informasidalam bentuk matriks;3. melakukan operasialjabar atas dua matriks;4. menentukan determi-nan matriks persegiordo 2;5. menentukan inversmatriks persegi ordo 2;6. menentukan penyele-saian sistem persama-an linear dua variabeldengan invers matriks;7. menentukan penye-lesaian sistem persama-an linear dua variabeldengan determinan;8. menentukan deter-minan matriks persegiordo 3;9. menentukan penyele-saian sistem persamaanlinear tiga variabel.MotivasiApa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftarnilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunanpenulisannya? Jika susunan tersebut dituliskan untuk per hariatau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangatpanjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apayang kalian bayangkan tentang posisi berderet dari depan kebelakang dan dari kiri ke kanan? Kasus-kasus di atas dapatdisajikan dengan mudah menggunakan matriks.Sumber:upload.wikimedia.org
30Khaz Matematika SMA 3 BhsmembahasMatriksJenis-JenisMatriks• adjoin• matriks• ordo• aturan Sarrus• matriks baris• perkalian matriks• baris• matriks diagonal• persamaan matriks• determinan• matriks identitas• singular•entry• matriks kolom• skalar• kesamaan matriks• matriks persegi• transformasi baris• kofaktor• minorelementer• kolom• nonsingular•transpose• lawan matriks• notasi matriksNotasi dan OrdoOperasi MatriksDeterminan danInversDeterminanInversmembahasPenyelesaianSPLberguna untukTransposePenjumlahanPenguranganPerkalian denganSkalarPerkalian Matriksterdiri atasKata KunciPeta Konsep
31MatriksMateri tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian.Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untukmempelajari materi lain dalam matematika, antara laindeterminan, vektor, dan transformasi geometri. Matriksmerupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaiansistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matrikssangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungandengan jajaran bilangan.Sebelum lebih jauh mempelajari tentang matriks,kerjakanlah latihan berikut agar kalian lebih mudah mempelajarimatriks.PrasyaratKerjakan di bukutugasCobalah kalian mencari informasi tentang harga-hargakebutuhan pokok di beberapa pasar di sekitarmu, kemudianisikan dalam kolom berikut.Jelaskan tentang isi tabel tersebut. Apa arti dari elemen atau angkadalam tabel tersebut?Beras (per kg)............................................Gula Pasir (per kg)............................................Cabe Merah (per kg)............................................Nama PasarNama BarangPasar APasar BA. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1. Pengertian MatriksUntuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikancontoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannyauntuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggrisdalam tabel berikut.Mata PelajaranUlangan IUlangan IIUlangan IIIUlangan IVMatematika7898Sejarah8786TIK5786B. Inggris79108
32Khaz Matematika SMA 3 BhsDalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalamikesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilaiMatematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, danbaris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertamamenyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,dan seterusnya.Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurutbaris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelahkiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolomdisesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yangada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Padamatriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapatdilihat dengan mudah pada matriks berikut.μμμμ˜—³³³³–•81097687568788987kolom ke-4kolom ke-3kolom ke-2kolom ke-1baris ke-4baris ke-3baris ke-2baris ke-1Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana. ́ ́ ́ ́ ́¦¥²²²²²¤£81097687568788987 atau μμμμ˜—³³³³–•81097687568788987Tugas: Observasi• Kerjakan di buku tugasAmbillah sebuah suratkabar. Carilah daftar hargadasar kebutuhan bahanpokok, daftar hasil skorpertandingan sepak bola,atau daftar nilai tukar matauang. Buatlah daftar tersebutmenjadi bentuk matriks.Bagaimanakah hasilnya,apakah bentuknya lebihringkas?Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.2. Notasi dan Ordo MatriksUntuk menyatakan matriks, biasanya digunakan hurufkapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemenmatriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, aij untukmenyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiapelemen B, dan seterusnya.
33MatriksContoh 1:Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapatmendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.Suatu matriks A berukuran m×n adalah susunan berbentukpersegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom.Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.A = μμμμμμ˜—³³³³³³–•mnmjmminijiinjnjaaaaaaaaaaaaaaaa................................2121222221111211MMMMMMaij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.Untuk ukuran m×n, sering kali disebut ordo suatu matrikssehingga matriks A dapat ditulis nmA×.Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskansecara singkat ke dalam notasi A = [aij], B = [bij], dan seterusnya.Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentangordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakanbanyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi darimatriks A dinyatakan dengan A = [aij].Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selamatahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalahsebagai berikut.TahunHarga Per Kilogram dalam RupiahBerasGulaMinyak Goreng20041.9003.7504.50020052.3003.9004.70020062.4003.8005.00020072.6004.0005.600a.Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengannotasi A.b.Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?c.Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.d.Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.
34Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:a.A = μμμμ˜—³³³³–•600.5000.4600.2000.5800.3400.2700.4900.3300.2500.4750.3900.1b.Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolompada matriks A adalah 3.c.Elemen-elemen pada baris kedua adalah a21 = 2.300,a22 = 3.900, dan a23 = 4.700.d.Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a13 = 4.500,a23 = 4.700, a33 = 5.000, dan a43 = 5.600.Contoh 2:Diketahui matriks B = 760543126897<•–³³³—˜μμμ.Tentukana.ordo matriks B;b.elemen-elemen baris pertama;c.elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;d.elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.Jawab:a.Matriks B mempunyai 3 baris dan 4 kolom sehingga ordomatriks B adalah 3 × 4 atau dinotasikan B3 4×.b.Elemen-elemen baris pertama adalah 7, –5, 1, dan 8.c.Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 adalah 3, ditulis b32 = 3.d.Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9, ditulis b24 = 9.ProblemSolvingDiketahui sistem persamaan linear berikut.3x + 5y – x = 45x + 2y – 3z = 82x – 4y + 2z = 6a.Susunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A.b.Tentukan ordo matriks A.c.Hitunglah a32 + a21 + a13.
35Matriks3. Matriks-Matriks KhususJawab:Koefisien xKoefisien yKoefisien zPersamaan 135–1Persamaan 252–3Persamaan 32–42a.Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam tabelberikut.Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan tabeldi atas adalah A = μμμ˜—³³³–•<<<242325153.b.Ordo matriks A adalah 3 × 3 atau ditulis 3 3×A.c.a32 adalah elemen baris ke-3 kolom ke-2, yaitu –4.a21 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1, yaitu 5.a13 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3, yaitu –1.Jadi, a32 + a21 + a13 = –4 + 5 + (–1) = 0.Beberapa macam matriks khusus yang perlu kalian kenaladalah sebagai berikut.a.Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satubaris.Misalnya:P = [3 2 1]Q = [4 5 –2 5]b.Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satukolom.Misalnya:R = μ˜—³–•32S = μμμ˜—³³³–•<432T = μμμμ˜—³³³³–•<<1275
36Khaz Matematika SMA 3 Bhsc.Matriks PersegiMatriks persegi adalah matriks yang banyak baris samadengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah nmaka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalahn×n. Seringkali matriks A yang berordo n×n disebut denganmatriks persegi ordo n. Elemen-elemen a11, a22, a33, ..., annmerupakan elemen-elemen pada diagonal utama.Misalnya:A = μ˜—³–•10281 merupakan matriks persegi ordo 2.B = μμμμ˜—³³³³–•<201231373111622954 merupakan matriks persegi ordo 4.Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10,sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.d.Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiapelemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0(nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanyanol.Misalnya:C = μ˜—³–•1002D = μμμ˜—³³³–•000040003e.Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks persegi dengan semuaelemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnyasemuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikandengan I dan disertai dengan ordonya.Misalnya:I2 = μ˜—³–•1001 I3 = μμμ˜—³³³–•100010001I4 = μμμμ˜—³³³³–•1000010000100001
37MatriksContoh:f.Matriks NolMatriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennyaadalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan hurufO diikuti ordonya, nmO×.Misalnya:1 2×O = μ˜—³–•00O3 2× = μμμ˜—³³³–•0000003 2×O= μ˜—³–•0000004. Transpose Suatu MatriksTranspose dari matriks A berordo m×n adalah matriks yangdiperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadielemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n×m. Notasitranspose matriks nmA× adalah AnmT×.Jika A = μ˜—³–•<653124, tentukan AT dan ordonya.Jawab:Terlihat dari matriks A bahwa elemen baris ke-1 adalah 4, 2,dan –1, sedangkan elemen baris ke-2 adalah 3, 5, dan 6. Untukmengubah matriks A menjadi AT, posisikan elemen baris ke-1menjadi kolom ke-1 dan elemen baris ke-2 menjadi elemenkolom ke-2 sehingga diperoleh AT = μμμ˜—³³³–•<615234Ordo matriks A adalah 2 × 3, sedangkan ordo AT adalah 3 × 2.Tugas: Inkuiri• Kerjakan di buku tugasBuatlah contoh-contoh ma-triks dengan ordo yangberbeda-beda. Transposekanmatriks-matriks tersebut.Amatilah hasilnya. Kemu-dian, buatlah bentuk umummatriks berordo m×n danmatriks transposenya.Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugas1.Diketahui matriks A = μμμ˜—³³³–•<<<73936121044865.a.Sebutkan elemen matriks yang terletak pada1) baris ke-1;2) baris ke-3;3) baris ke-2;4) baris ke-3 dan kolom ke-4;5) baris ke-1 dan kolom ke-3;6) baris ke-2 dan kolom ke-1.
38Khaz Matematika SMA 3 Bhsb. Sebutkan nomor baris dan nomor kolom yangmerupakan posisi dari masing-masing elemen berikut.1) 53) –35) 82) 64) 126) 10c.Tentukan ordo matriks A.d.Tentukan transpose matriks A dan ordonya.2.Tulislah koefisien-koefisien sistem persamaan linear berikutke dalam bentuk matriks.a.2x + y = 5c.2x + 5y – 3z = 66x – 4y = 73x – 7y – z = 10 5x – 9y + 6z = 12b.–5 = 7x + 8yd.4x = 8–6 = 3x – 4y5y – 6 = 0y = 03.Diketahui matriks P = [pij] ditentukan oleh P = μ˜—³–•<514236.a.Tentukan ordo matriks P.b.Tentukan p22, p13, p23, p11, dan p21.c.Hitunglah p13 + p11, p23 – p13, p22×p21, dan p11 : p12.d.Jika n = p13, hitunglah 122<<+nnn.e.Tentukan transpose matriks P.4.Diketahui matriks B = μ˜—³–•25pq.a.Tentukan nilai p dan q jika p = 2a11 + a22 – 4 dan2q = 3a21.b.Hitunglah nilai dari p2 + q2.5.Diketahui matriks A = μ˜—³–•8235vu.a.Tentukan AT.b.Dari hasil yang diperoleh pada soal a, tentukan u dan vjika 2u = 3a31 – 15 dan 4v – 312a – 8 = 0.6.Tentukan transpose dari masing-masing matriks berikut.a.A = 352617<•–³—˜μb.B = <<<•–³³³—˜μμμ35112614
39Matriksc.C = <[]5234d.D = <<<<•–³³³—˜μμμ6450143215175e.E = 3510<•–³³³³—˜μμμμf.F = <<<<•–³—˜μ56 30 54115147.Diketahui matriks A berordo 2 × 3. Tentukan matriks A jikaa.aij = 2i + 3j;d.aij = 2i2 – j2;b.aij = 8i – 5j;e.aij = 6i2 + 2j – 3;c.aij = i2 + j2;f.aij = 4j – 4.8. Diketahui matriks Q adalah transpose dari matriks54 32608913<<•–³³³—˜μμμ.Tentukan nilai daria.q23 + q12 – 2q31;d.5q32 + 4q13 – 2q22;b.4q13 – 5q21 + 2;e.q11×q33c.qq2321123+<;f.q22 : q12 + 4q32.9.Jika matriks aabbcabcdaebe fabg hg e+<+++++++++<+•–³³³³—˜μμμμ23422 adalah matriks nol,tentukan nilai a, b, c, d, e, f, g, dan h.10. Diketahui transpose matrik P adalah 34 41010 6 11527 3<<<•–³³³—˜μμμ.Tentukana.matriks P;b.nilai x dan y jika x = p23 + 3p32 – 5 dan y = p113 + 2p142.
40Khaz Matematika SMA 3 BhsB. Kesamaan Dua MatriksCoba perhatikan bahwa4 = 4;5 = 3 + 2;9 = 33.Perhatikan juga dengan matriks berikut.14231423•–³—˜μ=•–³—˜μMatriks tersebut adalah dua matriks yang sama. Demikian jugadengan matriks berikut.13123122212+•–³—˜μ=+•–³—˜μTampak bahwa elemen-elemen seletak dari kedua matriksmempunyai nilai yang sama. Sekarang, apakah matriks13241234 dan •–³—˜μ•–³—˜μmerupakan dua matriks yang sama? Coba selidiki, apakahelemen-elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yangsama?Jika kalian telah memahami kasus di atas, tentu kalian dapatmemahami definisi berikut.Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jikamatriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan semuaelemen yang seletak bernilai sama.Elemen yang seletak adalah elemen yang terletak pada barisdan kolom yang sama.Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahuiB = xy xxy+<<•–³—˜μ1 danC = 1223<<•–³³—˜μμxy. MatriksA = BT. Jika A = C makax – 2xy + y = ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6UMPTN 1996Contoh 1:Diketahui A = μ˜—³–•1234, B = 29121612•–³³—˜μμ, C = μ˜—³–•<<1234,dan D = μ˜—³–•612543.Apakah A = B? Apakah A = C? Apakah A = D?
41MatriksJawab:Dari keempat matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = Bkarena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainyasama. Matriks A&C karena meskipun ordonya sama, tetapielemen-elemen seletak ada yang nilainya tidak sama,sedangkan A&D karena ordonya tidak sama.Contoh 2:Tentukan nilai x, y, dan z jika μ˜—³–•<yx2112 = μ˜—³–•zy132.Jawab:Karena kedua matriks di atas sama dan elemen-elemen yangseletak bernilai sama, diperoleh x = 2, 12 = 3y atau y = 4, dan2 – y = z atau z = –2.Jadi, x = 2, y = 4, dan z = –2.Soal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugas1.Tulislah pasangan matriks yang sama dari matriks-matriksberikut.A = 32 1<[]B = μ˜—³–•<1042C = μ˜—³–•<1042D = μ˜—³–•<0124E = 32 1<[]F = μμμ˜—³³³–•<122G = μμμ˜—³³³–•<123H = 42 1<[]K = μ˜—³–•21362.Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan matriksberikut.a.μ˜—³–•<=μ˜—³–•230223yxb.μ˜—³–•<<=μ˜—³–•<12106210421yxTantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasDiketahui matriksA = 402322xyx+<•–³—˜μ danB = 8027•–³—˜μ. Tentukan nilai2x + 2y + 1.
42Khaz Matematika SMA 3 Bhsc.41573xy<<•–³—˜μ=•–³—˜μd.5610 34xyx+<•–³—˜μ=<•–³—˜μ3.Hitunglah nilai a dan b yang memenuhi persamaan matriksberikut.a.μ˜—³–•=μ˜—³–•<+1532babab.μ˜—³–•<<=μ˜—³–•+<31134baba4.Tentukan nilai x, y, z, a, b, c, d, e, dan f jika matriks A = B.A = μμμ˜—³³³–•<<10213383626B = xxyyzzab b xxd yce f<+<+++<+•–³³³—˜μμμ25 3225.Tentukan nilai s dan t jika matriks PT = Q.a.P = μ˜—³–•<8412 dan Q = μ˜—³–•+8252tsb.P = μμμ˜—³³³–•<<05410791263s dan Q = μμμ˜—³³³–•+<+01035764123tss6.Diketahui matriks A = <<+•–³—˜μ3220xyxy dan B = <•–³—˜μ3430.Tentukan nilai x dan y jika diketahui bahwa AT = B.7.Diketahui matriks A = 23 241538 1<<<<•–³³³—˜μμμ. Tentukan nilai p danq jika a22p + a13q = 1 dan a33p + a32q = 6.8.Tentukan nilai x yang mungkin dari kesamaan matriksberikut.21445243462xx+<•–³—˜μ=<+•–³—˜μ()Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui matriks A =4255ab+•–³—˜μ dan matriks B= 4273+•–³—˜μb. Jika A = B,nilai a dan b berturut-turutadalah ....a. –2 dan 1b. –1 dan 2c. –1 dan –2d. 1 dan 2e. 3 dan 5UN 2007
43MatriksMariBerdiskusiObservasi9. Diketahui K = abc324083 10<•–³³³—˜μμμ dan L = 63 240284 10<•–³³³—˜μμμab.Tentukan nilai a, b, dan c apabila K = L.10. Diketahui M = 45216abcc+•–³—˜μ dan N = 7512 2cab<•–³—˜μ.Tentukan a, b, dan c jika M = N.C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks1. Penjumlahan MatriksJumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatumatriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yangseletak dari matriks A dan B.Misalnya:Matriks acbd•–³—˜μ dapat dijumlahkan dengan matriks efgh•–³—˜μ;Matriks abcde f•–³—˜μ dapat dijumlahkan dengan matriks ghijkl•–³—˜μ;dan seterusnya.Secara umum, jika matriks A = [aij] dan B = [bij] maka matriksA + B = [aij] + [bij] = [aij + bij].Bagaimana jika kedua matriks mempunyai ordo yang tidaksama?Misalnya:matriks acbd•–³—˜μ dengan matriks abcde f•–³—˜μ. Dapatkahkedua matriks itu dijumlahkan?Coba kalian diskusikan dengan teman-teman kalian.Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentukalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalahmempunyai ordo yang sama.
44Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh:Diketahui A = μ˜—³–•<1325, B = μ˜—³–•<6524, dan C = μ˜—³–•<<352213.Tentukana.A + B;b.A + C.Jawab:a.A + B=μ˜—³–•<1325 + μ˜—³–•<6524=μ˜—³–•<+++<+)6(1532245=μ˜—³–•<5809b.A + C = μ˜—³–•<1325 + μ˜—³–•<<352213 tidak dapat dijumlahkankarena ordonya tidak sama.ProblemSolvingCarilah nilai x dan y yang memenuhi μ˜—³–•+yx312 + μ˜—³–•yx4 = μ˜—³–•84.Jawab:μ˜—³–•+yx312 + μ˜—³–•yx4 = μ˜—³–•84‹μ˜—³–•+++yyxx3412 = μ˜—³–•84‹μ˜—³–•+yx416 = μ˜—³–•83Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3‹x = 31 dan 4y = 8 ‹y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = 31 dany = 2.
45Matriksa.Lawan Suatu MatriksSebelum kita membahas tentang pengurangan matriks,terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatumatriks.Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A.Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [aij] dapat ditentukanlawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–aij].Misalnya sebagai berikut.Jika A = μ˜—³–•1234, lawan matriks A adalah –A = μ˜—³–•<<<<1234.Jika B = μμμ˜—³³³–•<<<411203, lawan matriks B adalah –B = μμμ˜—³³³–•<<411203.b.Pengurangan terhadap MatriksPengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatumatriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemenyang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – Badalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkanmatriks A dengan lawan dari matriks B, yaituA – B = A + (–B)dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya denganpenjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapatdikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum,jika A = [aij] dan B = [bij] maka A – B = [aij] – [bij] = [aij – bij]2. Pengurangan MatriksContoh 1:Diketahui A = μ˜—³–•6235 dan B = μ˜—³–•<<3012. Tentukan A – B.Jawab:Cara 1:Karena –B = –μ˜—³–•<=μ˜—³–•<<30123012 maka diperoleh sebagaiberikut.
46Khaz Matematika SMA 3 BhsA – B = A + (–B) = μ˜—³–•6235 + μ˜—³–•<3012= μ˜—³–•+++<+360213)2(5= μ˜—³–•9243Cara 2:A – B = μ˜—³–•6235 – μ˜—³–•<<3012 = μ˜—³–•<<<<<<)3(602)1(325 = μ˜—³–•9243Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjum-lahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.Contoh 2:Hitunglah X jika diketahui μ˜—³–•<3456 + X = μ˜—³–•01032.Jawab:X = 2310 0•–³—˜μ – μ˜—³–•<3456 = μ˜—³–•<<36843. Sifat-Sifat Penjumlahan MatriksAktivitasTujuan:Menemukan sifat-sifat penjumlahanmatriksPermasalahan:Sifat-sifat apakah yang berlaku padapenjumlahan matriks?Kegiatan:Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas.1. Diketahui matriks A = μ˜—³–•5213,B = μ˜—³–•<5124, dan C = μ˜—³–•<8756.Tentukan hasil penjumlahan berikut,kemudian tentukan sifat apa yangberlaku.
47MatriksBerdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifatpenjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka padapenjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.a.A + B = B + A (sifat komutatif)b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehinggaA + O = O + A = A.d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.a.A + Bc.(A + B) + Cb.B + Ad.A + (B + C)2. Untuk matriks A = μ˜—³–•<<722513 danO =μ˜—³–•000000, ordo A adalah 2 × 3 danordo O adalah 2 × 3, apakah A + O =O + A? Apakah A + O = O + A berlakuuntuk semua matriks yang dapatdijumlahkan?3. Diketahui matriks A = μ˜—³–•<<<475862.Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriksapakah yang kalian peroleh?Kesimpulan:Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa sajayang kalian peroleh?PerhatianUntuk pengurangan matrikstidak berlaku sifat komu-tatif, sifat asosiatif, dantidak mempunyai unsuridentitas.MariBerdiskusiInkuiriCoba kalian buktikan sifat-sifat penjumlahan matriks di atas,dengan memisalkan matriks A = [aij], B = [bij], C = [cij], dan O = [oij],untuk oij = 0. Ingat matriks A = aaaaaaaaa111212122212............nnmmmnMMMM•–³³³³—˜μμμμ dapatditulis [aij];i = 1, 2, 3 ... mj = 1, 2, 3 ... n
48Khaz Matematika SMA 3 BhsSoal Kompetensi 3• Kerjakan di buku tugas1.Diketahui matriks A = μμμ˜—³³³–•<<614253 dan B = μμμ˜—³³³–•<370512.Tentukana.A + B;d.AT – BT;b.A – B;e.B – A;c.AT + BT;f.BT – AT.2.Diketahui matriks P = μ˜—³–•<8675, Q = μ˜—³–•<0213, danR = μ˜—³–•<<5340.Tentukana.P + Q;e.P – (Q + R);b.Q – P;f.(P + Q) – (P + R);c.P – R;g.(P + Q + R)T ;d.(P + Q) – R;h.(P + Q)T + RT .3.Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut.a.A = 345<[]d.D = <<<<<<•–³³³—˜μμμ2583694710b.B = 2013<•–³—˜μe.E = <•–³³³—˜μμμ317258061c.C = 410 425 3 1<<<<•–³—˜μ4.Carilah nilai a, b, c, dan/atau d yang memenuhi persamaanberikut.a.abc[] + <[]567 = 32 1<[]b.μμμ˜—³³³–•cba23 + μμμ˜—³³³–•<4510 = μμμ˜—³³³–•<632c.μ˜—³–•<dcba23 – μ˜—³–•351016 = μ˜—³–•<<36412
49Matriksd.μ˜—³–•+<51243ca – μ˜—³–•<dab322 = μ˜—³–•<<165575.Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.a.X = μ˜—³–•<0215 + μ˜—³–•<4123 – μ˜—³–•<0123b.μ˜—³–•<10475 + X = μ˜—³–•<<48126c.μ˜—³–•<aaaa9754 – X = μ˜—³–•<aaaa4632d.XT – μ˜—³–•<<10987 = μ˜—³–•<10846.Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut.a.μ˜—³–•yx + μ˜—³–•<yy2 = μ˜—³–•<51b.μ˜—³–•<+412xx – μ˜—³–•<yy3 = μ˜—³–•<29c.μ˜—³–•++121054xx + μ˜—³–•yy363 = μ˜—³–•<11684d.μ˜—³–•+<213326xx – μ˜—³–•<+<412242yy = μ˜—³–•<<27547.Diketahui 55313<<•–³—˜μ+<<•–³—˜μbdb = 2112143cca+•–³—˜μ+<•–³—˜μ.Tentukan nilaia.a;b.b;c.c;d.d;e.a + b + c;f.3a + 4b – d;g.5a – 4b2;h.a2 + 2b – c.8.Tabel berikut menunjukkan nilai ujian yang diperoleh Niadan Doni untuk mata pelajaran Matematika, Sejarah, TIK,dan Bahasa Inggris.
50Khaz Matematika SMA 3 BhsMata PelajaranUjian Ke-1Ujian Ke-2Ujian Ke-3NiaDoniNiaDoniNiaDoniMatematika967580839593Sejarah677381876875TIK767982818586Bahasa Inggris848194979388a.Misalkan matriks A menyatakan ujian ke-1, matriks Bmenyatakan ujian ke-2, dan matriks C menyatakan ujianke-3. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam bentuk matriks.b.Tentukan hasil A + B + C.c.Untuk mata pelajaran apakah jumlah nilai Doni lebihtinggi dari nilai Nia?9.Vina dan Adi belanja barang-barang keperluan sekolah ditoko yang sama. Vina membeli 2 buku dan 3 pena denganmembayar Rp6.000,00. Adi membeli 4 buku dan 3 penadengan membayar Rp9.000,00. Nyatakan jumlah barang-barang yang dibeli kedua anak tersebut dalam matriks.Nyatakan pula harga-harga barang itu dalam suatu matriks.Dapatkah matriks jumlah barang dan matriks harga-hargabarang di atas dijumlahkan? Mengapa?10. Berikut diberikan daftar harga barang kebutuhan pokok (perkg) dalam 4 hari di 3 toko yang berbeda dalam rupiah.a.Nyatakan daftar harga barang kebutuhan pokok di atasdalam bentuk matriks.b.Tentukan jumlah harga barang selama 4 hari berturut-turut.c.Dari hasil b, harga barang apakah dan di toko manakahyang paling murah dan paling mahal?Gandum4.1004.1004.0004.2004.2004.0004.1004.0004.0004.3004.2504.100Beras5.2005.0505.1005.4005.1005.2005.3005.4005.1505.0005.1005.050Minyak7.7007.3007.4007.6007.4007.1007.5007.5007.3007.4007.1007.200gorengNamaBarangMingguSeninSelasaRabuTo k o ATo k o BTo k o CTo k o ATo k o BTo k o CTo k o ATo k o BTo k o CTo k o ATo k o BTo k o CD. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks1. Pengertian Perkalian Suatu Skalar dengan MatriksMisalkan A suatu matriks berordo m×n dan k suatu skalarbilangan real. Matriks B = kA dapat diperoleh dengan caramengalikan semua elemen A dengan bilangan k, ditulis sebagaiberikut.
51MatriksB = kaaaaaaaaa111212122212............nnmmmnMMMM•–³³³³—˜μμμμ = kakakakakakakakaka111212122212............nnmmmnMMMM•–³³³³—˜μμμμContoh:Diketahui A = μ˜—³–•<2315 dan B = μ˜—³–•<8264.Tentukana.3A;b.6B;c.–3A + 2B.Jawab:a.3A = 3μ˜—³–•<2315 = μ˜—³–•<)2(3)3(3)1(3)5(3 = μ˜—³–•<69315b.6B = 6μ˜—³–•<8264 = μ˜—³–•<)8(6)2(6)6(6)4(6= μ˜—³–•<48123624c.–3A + 2B= –3μ˜—³–•<2315 + 2μ˜—³–•<8264= μ˜—³–•<<<<<)2(3)3(3)1(3)5(3 + μ˜—³–•<)8(2)2(2)6(2)4(2= μ˜—³–•<<<69315 + μ˜—³–•<164128 = μ˜—³–•<105972. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan MatriksPerkalian bilangan real (skalar) dengan suatu matriks dapatdilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks denganordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).Misalkan A dan B matriks-matriks berordo m×n serta k1dan k2 bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat berikut.a.k1(A + B) = k1A + k1Bb.(k1 + k2)A = k1A + k2Ac.k1(k2A) = (k1k2) A
52Khaz Matematika SMA 3 BhsBuktiDi buku ini, hanya akan dibuktikan sifat a. Misalkan k1 skalar, Adan B matriks berordo m×n.AaaaaaaaaaBbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK, dank1 (A + B)= k1 aaaaaaaaabbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́•–³³³³³—˜μμμμμ= k1 ab ababab aba baba babnnnnmmmmmnmn1111121211212122222211 2 2+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= ka bka bka bka bka bkabkabkabkabnnnnmmmmmnmn1111111212111121211222212211 1 1 221+()+()+()+()+()+()+()+()+()£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= kakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbnnnnmmmmmnmn1111111121121111121121122122121211 11 1 2 1211+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= kakakakakakakakakakbkbkbkbkbkbkbkbkbnnmmmnnnmmmn111112111221211211 1 21111112111211221211 1 21KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ ́= kaaaaaaaaakbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn11112122212121111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́= k1A + k1B ................................................ (terbukti)Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui persamaan ma-triks berikut.xyz25216572121<•–³³³—˜μμμ+<<•–³³³—˜μμμ=<<<•–³³³—˜μμμ.Nilai z = ....a. –2b. 0c. 3d. 6e. 30UMPTN 1999
53MatriksCara membuktikan sifat ini dapat juga dilakukan sebagai berikut.Misalkan matriks A = [aij] dan B = [bij], dengan i = 1, 2, ..., mdan j = 1, 2, ..., n.k1(A + B)=k1([aij] + [bij])=k1([aij + bij])=[k1(aij + bij)]=[k1aij + k1bij]=[k1aij] + [k1bij]=k1[aij] + k1[bij]=k1A + k1B .............................................. (terbukti)Soal Kompetensi 4• Kerjakan di buku tugas1.Diketahui A = μ˜—³–•<<<276385. Tentukan hasil operasimatriks berikut.a.3Ac.4ATb.ATd.5A + 2A2.Diketahui A = μ˜—³–•<<10284 dan B = μ˜—³–•<<2011. Tentukanhasil operasi matriks berikut.a.2A + Bb.21A – Bc.3AT + BTd.4AT + A – Be.AT + Bf.(AT + 2BT)3.Tentukan X jika diketahuia.2X – μ˜—³–•<6512 = μ˜—³–•<<81176;b.2XT + μμμ˜—³³³–•<<828732516 = μμμ˜—³³³–•<<<6425107310;c.31μ˜—³–•<<0123696 = XT;d.31X = μμμ˜—³³³–•<<3123915632.Tugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasBuktikan kebenaran sifat-sifat perkalian skalar denganmatriks b dan c di atas.
54Khaz Matematika SMA 3 Bhs4.Tentukan nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaanberikut.a.5221pq<•–³—˜μ = μ˜—³–•<5252010b.μ˜—³–•<52321rpq = μ˜—³–•<s2419c.μ˜—³–•<prp364 = μ˜—³–•+<<qr23843d.μ˜—³–•+<<rsrqp22 = μμ˜—³³–•<<qpq21445.Tentukan nilai p, q, r, dan s jika diketahui persamaanberikut.3612543pqrsppqrs•–³—˜μ=<•–³—˜μ+++•–³—˜μ6.Diketahui xyz25216572121<•–³³³—˜μμμ+<<•–³³³—˜μμμ=<<<•–³³³—˜μμμ. Tentukan nilai z.7.Diketahui xxy233112212•–³—˜μ+<•–³—˜μ=<•–³—˜μ. Tentukan nilai y.8.Diketahui matriks A = 61•–³—˜μ, B = 31•–³—˜μ, dan C = 185•–³—˜μ.Jika Ax + By = C, tentukan titik potong koordinat yangterjadi antara dua buah persamaan garis yang terbentuk.9.Diketahui persamaan xyz25216572121<•–³³³—˜μμμ<•–³³³—˜μμμ=<<<•–³³³—˜μμμ. Tentukannilai x, y, dan z.10.Jika x0 dan y0 memenuhi persamaan 41603470xyxy<+=+<= ̈©ª danx0 = pxy300< maka tentukanlah nilai-nilai berikut.a.x0, y0, dan pc.3y0 + pb.4y0 + x0d.6x0 – 2y0 + p
55MatriksE. Perkalian Matriks1. Pengertian Perkalian MatriksUntuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikanilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempatyang berbeda. Di toko I, ia membeli 3 bolpoin dan 2 buku,sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Hargabolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?Untuk menghitung jumlah uang yang dibayar oleh Rinadapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknyabarang dengan harga masing-masing sebagai berikut.TempatBolpoinBukuToko I32Toko II43BarangHargaBolpoinRp2.500,00BukuRp4.000,00Toko I : (3 × Rp2.500,00) + (2 × Rp4.000,00) = Rp15.500,00Toko II : (4 × Rp2.500,00) + (3 × Rp4.000,00) = Rp22.000,00Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentukmatriks sebagai berikut.P = μ˜—³–•3423 menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeliRina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.Q = μ˜—³–•000.4500.2 menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku.Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat padatabel berikut.TempatHarga PembelianToko I3 × Rp2.500,00 + 2 × Rp4.000,00 = Rp15.500,00Toko II 4 × Rp2.500,00 + 3 × Rp4.000,00 = Rp22.000,00Tabel pengeluaran di atas bersesuaian dengan perkalianmatriks P × Q, yaituP×Q = 3243•–³—˜μμ˜—³–•000.4500.2 = 32 50042 500 2 4.000 3 4.000×+××+ו–³—˜μ.. = 15 50022 000..•–³—˜μ.Kuis• Kerjakan di buku tugasJika diketahuimn23124324 2314 13•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μmaka nilai m dan n masing-masing adalah ....a. 4 dan 6b. 5 dan 4c. 5 dan 3d. 4 dan 5e. 3 dan 7UMPTN 1998
56Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh:Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 × 2 dan matriks Qberordo 2 × 1, sedangkan P × Q berordo 2 × 1 sehingga baganperkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut. ordo hasil kali(2 × 2) (2 × 1) = (2 × 1) samaSecara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.Misalkan A matriks berordo m×p dan B matriks berordo p×nmaka A×B adalah suatu matriks C = [cij] berordo m×nyang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitu kolom ke-j (cij)diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yangbersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.Diketahui matriks A = μ˜—³–•<12, B = <[]32, C = μ˜—³–•<4132, danD = μ˜—³–•<<162154.Tentukana.A×B;c.C×D;b.B×C;d.A×C.Jawab:a.A×B = 2132<•–³—˜μ<[] = μ˜—³–•<<<<)2(1)3(1)2(2)3(2 = μ˜—³–•<<2346Bagaimana hasil perkalian dari B×A?b.B×C = <[]32μ˜—³–•<4132 = [(–3 × 2) + (2 × (–1)) (–3 × 3) + (2 × 4)] = <<[]81Bagaimana hasil perkalian dari C×B?c.C×D= μ˜—³–•<4132μ˜—³–•<<162154= μ˜—³–•×+<×<×+<×<×+×<×+<××+<××+×)14)1(1()64)5(1()24()41()13)1(2(63)5(2()23()42(
57MatriksSyarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolommatriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Jikaperkalian A × B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwaa.matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;b.matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.d.A×C = μ˜—³–•<12μ˜—³–•<4132 tidak dapat dikalikan karenabanyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak barismatriks C.2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari KananContoh:Diketahui matriks A = μ˜—³–•<3124 dan B = μ˜—³–•<2432.Tentukan hasil perkaliana.matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;b.matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.Jawab:a.Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berartiB×A = μ˜—³–•<2432μ˜—³–•<3124 = μ˜—³–•<1414511.b.Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berartiA×B = μ˜—³–•<3124μ˜—³–•<2432 = μ˜—³–•<314160.Tampak dari hasil di atas bahwa A×B&B×A, artinyaperkalian matriks tidak bersifat komutatif.3. Sifat-Sifat Perkalian MatriksMisalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan ataudijumlahkan. Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks,lakukan Aktivitas berikut.AktivitasTujuan:Menemukan sifat-sifat perkalian matriks.Permasalahan:Sifat-sifat apakah yang berlaku padaperkalian matriks?
58Khaz Matematika SMA 3 BhsBerdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalianmatriks sebagai berikut.Kegiatan:Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.Diketahui matriks A = μ˜—³–•<0221, B =μ˜—³–•<5432, dan C = μ˜—³–•<0132. Jika k = 2,tentukan hasil perhitungan berikut.a.A×B dan B×A. Apakah A×B = B×A?Apa kesimpulanmu?b. (A×B) ×C dan A× (B×C).Apakah hasilnya sama? Apa kesim-pulanmu?c.A× (B + C), (C×B) + (A×C), dan(A×C) + (A×B).Bagaimana hubungan ketiga operasiperkalian matriks tersebut?d.A×I dan I×A dengan I matriksidentitas.Hubungan apa yang terbentuk?e.A×O dan O×A dengan O matriks nolordo 2 × 2.Apakah A×O = O×A = O?f. (kA) ×B dan k(A×B). Apakah (kA) ×B= k(A×B)?Kesimpulan:Sifat-sifat apakah yang kalian temukan darikegiatan di atas?Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui matriks A =xy11<•–³—˜μ; B = 3210•–³—˜μ;C = 1012<<•–³—˜μ.Nilai x + y yang memenuhipersamaan AB – 2B = Cadalah ....a. 0b. 2c. 6d. 8e. 10UMPTN 1998Kuis• Kerjakan di buku tugasJika diketahui423268116x<•–³—˜μ+<<<•–³—˜μ =231240311<•–³—˜μ+<•–³—˜μ makanilai x adalah ....a. 0b. 10c. 13d. 14e. 25UMPTN 1998Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapatdikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlakusifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.a.Tidak komutatif, yaitu A×B&B×A.b.Asosiatif, yaitu (A×B) ×C = A× (B×C).c.Distributif, yaitu:1) distributif kiri: A× (B + C) = (A×B) + (A×C);2) distributif kanan: (A + B) ×C = (A×C) + (B×C).d.Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriksidentitas I, yaitu A× I = I×A = A (ordo I sama denganordo matriks A).e.Perkalian dengan matriks O, yaitu A×O = O×A = O.f.Perkalian dengan skalar, yaitu (kA) ×B = k(A×B).
59MatriksAktivitasTujuan:Menentukan hasil perkalian matriksdengan bantuan software komputer.Permasalahan:Bagaimana cara menentukan hasilperkalian matriks dengan menggunakansoftware komputer?Kegiatan:Kita akan menentukan matriks inversdengan Microsoft Excel. Fungsi yangdigunakan adalah MMULT. Misalnya,akan ditentukan hasil perkalian matriks12341456•–³—˜μ•–³—˜μ.Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.1. Masukkan elemen-elemen matrikspada sel-sel Microsoft Excel.2. Tentukan hasil kali matriks A denganB. Caranya adalah sebagai berikut.Blok sel-sel yang akan ditempatielemen-elemen matriks hasil kali darimatriks A dan B. Ketik “ = MMULT(”,kemudian sorot sel-sel yang mengan-dung matriks A tadi. Kemudian, ketik“;”. Sorot sel-sel yang mengandungelemen-elemen matriks B diikutidengan mengetik “)”. Tekan CTRL +SHIFT + ENTER maka matriks hasilkali dari A dan B akan muncul.Kesimpulan:Jika kalian melakukan langkah-langkahyang diinstruksikan dengan benar, kalianakan memperoleh hasil berikut.TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasMisalkan diberikan matriksA = 11132 121 0<<<<•–³³³—˜μμμ danB = 123246123•–³³³—˜μμμ.Tunjukkan bahwa hasilperkalian AB adalah matriksnol.
60Khaz Matematika SMA 3 Bhs4. Perpangkatan Matriks PersegiJika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matrikspersegi, maka An = A×A×A× ... ×A (sebanyak n faktor) ataudapat juga dituliskan An = A×An–1 atau An = An–1× A.Contoh:Diketahui matriks A = μ˜—³–•<<3121. Tentukana.A2;b.A3;c.2A4.Jawab:a.A2 = A×A = μ˜—³–•<<3121μ˜—³–•<<3121 = μ˜—³–•<<11483b.A3 = A×A2 = μ˜—³–•<<3121μ˜—³–•<<11483 = μ˜—³–•<<41153011Dengan cara lain, yaitu A3 = A2×A, diperolehA3 = A2×A = μ˜—³–•<<=μ˜—³–•<<μ˜—³–•<<41153011312111483Ternyata, A2× A = A × A2 = A3.c.2A4 = 2A×A3 = 2μ˜—³–•<<3121μ˜—³–•<<41153011 = 24111256153<<•–³—˜μ = μ˜—³–•<<30611222482TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasSelidiki, manakah pernyata-an berikut yang benar.Misalkan A dan B matrikspersegi.a.AB2 = BABb.A2 – B2 = (A + B)(A – B)c. (A2)2 = A4Tugas: Observasi• Kerjakan di buku tugasDari soal pada contoh diatas, coba selidiki, apakah2A3×A = 2A2×A2 = 2A × A3?Soal Kompetensi 5• Kerjakan di buku tugas1.Hitunglah perkalian matriks-matriks berikut.a.124564<[]<<•–³³³—˜μμμb.μ˜—³–•<<μ˜—³–•<26121345
61Matriksc.μμμ˜—³³³–•<<μ˜—³–•<<5704116325110TantanganInkuiri• Kerjakan di buku tugasDiberikan A = ii00•–³—˜μdengan i =<1. Tunjukkanbahwaa.A4 = Ib.A5 = Ac.A6 = –Id.A7 = –Auntuk I = 1001•–³—˜μ.d.<•–³³³—˜μμμ<[]3425412.Diketahui matriks A = μ˜—³–•<2132 dan I matriks identitas.Tentukana.A2;d.A3 + I;b.3A2 + I;e.A2 – 2A + I.c.A×AT;3.Diketahui matriks U = μ˜—³–•<<1312, V = μ˜—³–•<0132, danW = μ˜—³–•<2435.Tentukana.(U×V) ×W;d.UT×VT×W;b.UT× (V×W);e.UT× (V×W)T;c.(U×V)T×W;f.W×U×VT.4.Tentukan nilai dari a dan b yang memenuhi persamaanmatriks berikut.a.μ˜—³–•<μ˜—³–•<4332ba = μ˜—³–•<514b.μ˜—³–•μ˜—³–•<aba6423 = μ˜—³–•<816c.μ˜—³–•<μ˜—³–•<+323312abaa = μ˜—³–•<204d.μ˜—³–•μ˜—³–•<<ba2412 = μ˜—³–•<916e.μ˜—³–•μ˜—³–•<ba1342 = μ˜—³–•<916f.μ˜—³–•μ˜—³–•bbaaa25012 = μ˜—³–•<<44413
62Khaz Matematika SMA 3 Bhs5.Misalkan A dan B matriks-matriks yang dapat dikalikan sertaA dan C juga dapat dikalikan. Apakah berlaku jika A×B =A×C maka B = C? Tunjukkan dengan contoh dan berikanalasanmu.6.Jika diketahui ab<•–³—˜μ<•–³—˜μ=<•–³—˜μ325243213712, tentukan nilaia2 + b2.7.Jika titik A merupakan perpotongan dua garis yang disajikanoleh persamaan matriks 111111<•–³—˜μ•–³—˜μ=<•–³—˜μxy, tentukankoordinat titik A.8.Jika titik B merupakan perpotongan dua garis yang disajikanoleh persamaan matriks 123248<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxy dan garis k(k dan l) adalah garis yang melalui titik B dan titik asal O,tentukan persamaan garis k yang melalui C(–2, 3) dan sejajargaris l.9.Diketahui matriks P = μμμ˜—³³³–•<125031142 dan Q = μμμ˜—³³³–•<<410212031.Tentukan hasil perkalian matriks berikut.a.P×Qb.P2c.(P + Q) × (P – Q)d.QT× (P + Q)Te.(P×Q)T×Pf.PT× (P – Q)T10. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.2x + 3y + z = 64x – 3y + z = 2x – y – z = –1Susunlah sistem persamaan itu dalam bentuk persamaanmatriks. (Ingat aturan perkalian matriks)Kuis• Kerjakan di buku tugasNilai p yang memenuhipersamaan matriks221136241<•–³—˜μ+<<•–³—˜μp= 21110124<•–³—˜μ+•–³—˜μ adalah....a. –2b. –1c. 0d. 1e. 2SPMB 2004F. Invers Suatu MatriksDua hal penting yang diperlukan dalam mencari inversmatriks adalah transpose dan determinan suatu matriks. Padasubbab sebelumnya, kalian telah mempelajari transpose matriks.Sekarang, kita akan mempelajari determinan matriks.
63Matriksa.Determinan Matriks Ordo 2 ××××× 2Misalkan A = μ˜—³–•dcba adalah matriks yang berordo 2 × 2dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama,sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinanmatriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yangdiperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen padadiagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.Dengan demikian, dapat diperoleh rumusdet A sebagai berikut.det A = abcd = ad – bc1. Determinan Suatu MatriksContoh:Tentukan determinan matriks-matriks berikut.a.A = μ˜—³–•3425b.B = μ˜—³–•<<2314Jawab:a.det A = 5243 = (5 × 3) – (2 × 4) = 7b.det B = <<4132 = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5b.Determinan Matriks Ordo 3 ××××× 3 (Pengayaan)Jika A = μμμ˜—³³³–•333231232221131211aaaaaaaaa adalah matriks persegi berordo3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A = aaaaaaaaa111213212223313233.Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukandeterminan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus danmetode minor-kofaktor.PerhatianDeterminan matriks ditulisdengan tanda garis lurus,bukan tanda kurung siku.
64Khaz Matematika SMA 3 BhsAturan SarrusUntuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus,perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitungdeterminan matriks 3 3×A. Gambaran perhitungannya adalahsebagai berikut.det A = aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233111221223132= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33Metode Minor-KofaktorMisalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemenaij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelahelemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya,dari matriks A3 x 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehinggaA = μμμ˜—³³³–•333231232221131211aaaaaaaaaAkan diperoleh M21 = aaaa12133233. M21 adalah minor dari elemenmatriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalandengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnyaM13 = aaaa21123132Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j denganminor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriksdirumuskan denganKij = (–1)i+jMijDari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13berturut-turut adalahK21 = (–1)2+1M21 = –M21 = aaaa12133233–––+++>>>>>>
65MatriksK13 = (–1)1+3M13 = M13 = aaaa21223132Kofaktor dari matriks A3x3 adalah kof(A) = μμμ˜—³³³–•333231232221131211KKKKKKKKK.Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahandari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengankofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilihdahulu sebuah baris (atau kolom), kemudian kita gunakan aturandi atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.Misalkan diketahui matriks A = μμμ˜—³³³–•333231232221131211aaaaaaaaa.Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.Kita pilih baris pertama sehinggadet A=a11K11 + a12K12 + a13K13=a11 (–1)1+1M11 + a12 (–1)1+2M12 + a13 (–1)1+3M13=a11 aaaa22233233– aaaaa1221233133+aaaaa1321223132=a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23)+ a13(a21a32 – a31a22)=a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32– a13a22a31=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32– a12a21a33Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengancara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakancara Sarrus.Tugas: Inkuiri• Kerjakan di buku tugasCoba kalian tentukan deter-minan matriks A menurutbaris kedua dan ketiga.Kemudian, tentukan puladeterminan menurut kolomke-1, ke-2, dan ke-3. Apakahhasilnya sama?Contoh:Tentukan determinan dari matriks A = μμμ˜—³³³–•213412321 denganaturan Sarrus dan minor-kofaktor.
66Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:Cara 1: (Aturan Sarrus)det A=123214312= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8=11Cara 2: (Minor-kofaktor)Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertamasehingga diperolehdet A = 114122243232131<+ = –2 – 2(–8) + 3(–1) = –2 + 16 – 3 = 11Coba kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain.Apakah hasilnya sama?c.Sifat-Sifat Determinan MatriksBerikut disajikan beberapa sifat determinan matriks.1) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengannol maka determinan matriks itu nol.Misal A = 0023•–³—˜μA||A = 0; B = 231000542•–³³³—˜μμμA||B = 0.2) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama denganelemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriksitu nol.Misal B = 432578432•–³³³—˜μμμA||B = 0 (Karena elemen-elemen bariske-1 dan ke-3 sama).3) Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakankelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain makadeterminan matriks itu nol.
67MatriksMisal A = 123570246•–³³³—˜μμμA |A| = 0 (Karena elemen-elemenbaris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).4.|AB| = |A|×|B|5.|AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.6.|A–1| = 1||A, untuk A–1 adalah invers dari matriks A (inversakan dijelaskan berikutnya).7.|kA| = kn |A|, untuk A ordo n×n dan k suatu konstanta.Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifatini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.2. Pengertian Invers MatriksMisalkan dua matriks A dan B adalah matriks berordo n×ndan In adalah matriks identitas berordo n×n. Jika A×B = B×A = Inmaka matriks A disebut invers matriks B, sebaliknya B disebut inversmatriks A. Dalam keadaan seperti ini maka dikatakan bahwa A danB saling invers.Jika matriks A mempunyai invers, dikatakan bahwa matriksA adalah matriks nonsingular, sedangkan jika A tidak mempunyaiinvers, matriks A disebut matriks singular. Invers matriks A ditulis A–1.Contoh:Diketahui A = μ˜—³–•2312 dan B = μ˜—³–•<<2312.Selidiki, apakah A dan B saling invers?Jawab:Matriks A dan B saling invers jika berlaku A×B = B×A = I.A×B = 21322132•–³—˜μ<<•–³—˜μ = 1001•–³—˜μ= IB×A = 21322132<<•–³—˜μ•–³—˜μ = 1001•–³—˜μ = IKarena A×B = B×A maka A dan B saling invers, denganA–1 = B dan B–1 = A.
68Khaz Matematika SMA 3 Bhs3. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2Misalkan diketahui matriks A = μ˜—³–•dcba, dengan ad – bc& 0.Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriksA jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1. Dengan demikian,berlakuAA–1 = A–1A = IMatriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular,yaitu det A& 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0)maka matriks ini tidak memiliki invers.Misalkan matriks A = μ˜—³–•dcba dan matriks B = μ˜—³–•srqp sehinggaberlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemenmatriks B, yaitu p, q, r, dan s.Dari persamaan A×B = I, diperolehμ˜—³–•μ˜—³–•srqpdcba = μ˜—³–•1001‹μ˜—³–•++++dscqdrcpbsaqbrap = μ˜—³–•1001Jadi, diperoleh sistem persamaanap + br = 1danaq + bs = 0cp + dr = 0cq + ds = 1Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian perolehp = bcadd<, r = bcadc<<, q = bcadb<<, dan s = bcada<.Dengan demikian,B = μμμμ˜—³³³³–•<<<<<<bcadabcadcbcadbbcadd = μ˜—³–•<<<acbdbcad1Matriks B memenuhi A×B = I.Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B×A = I?B×A = μ˜—³–•μ˜—³–•<<<dcbaacbdbcad1Di depan, kalian telahmenemukan bahwa padaperkalian matriks tidakberlaku sifat komutatif.Bagaimana dengan hasil kalidari A×A–1 dan A–1×A?Jelaskan pendapat kalian.Tugas: Berpikir Kritis• Kerjakan di buku tugasKuis• Kerjakan di buku tugasMatriks X yang memenuhipersamaan27533879•–³—˜μ=<<•–³—˜μXadalah ....a.2312<<•–³—˜μb.2312<<•–³—˜μc.3122<<•–³—˜μd.<<•–³—˜μ1232e.2322<•–³—˜μUN 2007
69Matriks = μ˜—³–•<<<<<bcadacacbdbdbcadbcad1Karena ad – bc& 0, berlaku B×A = μ˜—³–•1001 = I.Karena A×B = B×A = I maka B = A–1.Jadi, jika A = μ˜—³–•dcba maka inversnya adalahA–1 = μ˜—³–•<<<acbdbcad1untuk ad – bc& 0.Contoh:Tentukan invers matriks-matriks berikut.a.A = μ˜—³–•2714b.B = μ˜—³–•<<4523Jawab:a.A–1= μ˜—³–•<<<4712781= μ˜—³–•<<471211= 2174<<•–³—˜μb.B–1= μ˜—³–•<<<<<3524)10(121= μ˜—³–•<<<352421= 215232<•–³—˜μ<
70Khaz Matematika SMA 3 BhsAktivitasTujuan:Menentukan invers matriks persegidengan bantuan software komputer.Permasalahan:Bagaimana cara menentukan inversmatriks dengan menggunakan softwarekomputer?Kegiatan:Kita akan menentukan matriks inversdengan Microsoft Excel. Fungsi yangdigunakan adalah MINVERSE. Misalnya,akan ditentukan invers matriks 1234•–³—˜μ.Untuk itu lakukan langkah-langkahberikut.1. Masukkan elemen-elemen matrikspada sel-sel Microsoft Excel yangmembentuk persegi.2. Tentukan invers matriks A dengan caraberikut. Blok empat sel yang akanditempati elemen-elemen matriksinvers dari A. Ketik “=MINVERSE(”,kemudian sorot sel-sel yang mengan-dung matriks A tadi. Diikuti denganmengetik “)”. Tekan CTRL + SHIFT+ ENTER maka matriks invers dari Aakan muncul.Kesimpulan:Jika kalian melakukan langkah-langkahyang diinstruksikan dengan benar, kalianakan memperoleh hasil berikut.
71MatriksInvers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapacara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan caraadjoin dan transformasi baris elementer.a.Dengan AdjoinPada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenaideterminan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj(A),yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakankofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaituadj(A) = (kof(A))TAdjoin A dirumuskan sebagai berikut.adj(A) = (kof(A))T=KKKKKKKKKT111213212223313233•–³³³—˜μμμ=KKKKKKKKK112131122232132333•–³³³—˜μμμ=aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa222332331213323312132223212331331113313311132123212231321112313211122122<<<<•–³³³³³³³—˜μμμμμμμInvers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.A–1 = )( adjdet1AAAdapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebihmendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.4. Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui matriks B adalahinvers matriks A, matriks Dadalah invers matriks C, danA × B × C = D. Berikut iniyang menghasilkan matriksidentitas (I) adalah ....a.A2b.B2c.C2d.D2e.A × C2Kompetisi MatematikaDKI, 2000
72Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh:Diketahui matriks A = μμμ˜—³³³–•321432121. Tentukan invers matriks A,misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.Jawab:Terlebih dahulu kita hitung determinan A.det A = 134232241312312<+ = 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperolehadj(A) = μμμ˜—³³³–•<<<<101222541Jadi, A–1 dapat dihitung sebagai berikut.A–1 = )(adjdet1AA = μμμ˜—³³³–•<<<<<10122254121 = <<<<•–³³³—˜μμμ1252121221110b.Dengan Transformasi Baris ElementerUntuk menentukan invers matriks An dengan caratransformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitasordo n.2) Transformasikan matriks (An | In) ke bentuk (In | Bn), dengantransformasi elemen baris.3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn.Notasi yang sering digunakan dalam transformasi bariselementer adalahKuis• Kerjakan di buku tugasB–1 adalah invers matriks B.Jika B = 13 121 010 2<•–³³³—˜μμμ danAB–1 = 21111 001 2<<<•–³³³—˜μμμ, de-terminan matriks A adalah....a. 1b. 8c. 27d. 32e. 64Kompetisi MatematikaDKI, 2000
73MatriksContoh 1:a)Bi CBj: menukar elemen-elemen baris ke-i denganelemen-elemen baris ke-j;b)kBiu: mengalikan elemen-elemen baris ke-i denganskalar k;c)Bi + kBj: jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengank kali elemen-elemen baris ke-j.Tentukan invers matriks A = μ˜—³–•3512 dengan transformasi bariselementer.Jawab:(A2 | I2)= μ˜—³–•1001351221B1 1530011212•–³—˜μB2 – 5B1 100112121252<•–³—˜μB1 – B21003111252<•–³—˜μ<2B2μ˜—³–•<<25131001Jadi, diperoleh A–1 = μ˜—³–•<<2513.Keterangan:21B1:Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 21.B2 – 5B1:Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemenbaris ke-1.B1 – B2: Kurangi elemen-elemen baris ke-1 denganelemen-elemen baris ke-2.2B2:Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.~~~~Tugas: Inkuiri• Kerjakan di buku tugasUjilah hasil perhitungan disamping dengan rumusA×A–1 = I atau denganrumus invers matriks ordo 2.Apa yang kalian peroleh?Contoh 2:Tentukan invers matriks A = μμμ˜—³³³–•312232011 dengan transformasibaris elementer.
74Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:(A3 | I3) = μμμ˜—³³³–•100010001312232011μμμ˜—³³³–•<<<102012001310210011B3 + B2μμμ˜—³³³–•<<114012001500210011 B3110012001100210451515<•–³³³—˜μμμ<B2– 2B3110010001100253525451515<<<•–³³³—˜μμμB1 – B2 = 100010001753525253525451515<<<<•–³³³—˜μμμJadi, diperoleh A–1 = 753525253525451515<<<<•–³³³—˜μμμ.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2 × 2,dengan matriks A dan B sudah diketahui elemennya, sedangkanmatriks X belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X dapatditentukan jika A mempunyai invers (matriks nonsingular).Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = Bdapat dilakukan dengan langkah berikut. AX = B‹ A–1(AX) = A–1B‹ (A–1A)X = A–1B‹ IX = A–1B‹ X = A–1B5. Persamaan Matriks Bentuk AX = B dan XA = B15~~~~B2 – 2B1B3 – B1~MariBerdiskusiInkuiriMungkinkah sembarang matriks berukuran m×n dapatditentukan inversnya? Berikan alasanmu. Untuk memperkuatalasan kalian, coba berikan contohnya.
75MatriksDari persamaan terakhir tampak bahwa kedua ruas dikalikandari kiri oleh A–1 sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = A–1B.Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk XA = Bdapat ditentukan dengan cara mengalikan kedua ruas dari kanandengan A–1 sehingga diperoleh penyelesaian X = BA–1 sepertiberikut. XA = B‹(XA)A–1 = BA–1‹X(AA–1) = BA–1‹XI = BA–1‹X = BA–1Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian X = BA–1. Dengandemikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B.Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.Contoh:Diketahui A = μ˜—³–•2538 dan B = μ˜—³–•<1012.Tentukan matriks X yang memenuhia.AX = B;b.XA = B.Jawab:Karena det A = 2538 = 16 – 15 = 1 & 0 maka matriks Amempunyai invers.Jika dicari inversnya, kalian akan memperolehA–1 = μ˜—³–•<<8532.(Coba kalian tunjukkan).Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut.a.AX = B‹X = A–1B = μ˜—³–•<μ˜—³–•<<10128532 = 4510 13<<•–³—˜μTugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasMisalkan diberikan sistempersamaan linear berikut.2x + 4y = 6x + 2y = 4Susunlah sistem persamaanitu dalam bentuk matriks.Kemudian, dapatkah kalianmenentukan penyelesaianpersamaan matriks yangterbentuk? Berapa banyakpenyelesaiannya? Mengapa?
76Khaz Matematika SMA 3 BhsMariBerdiskusiInkuiriMisalnya diberikan persamaan dalam bentuk matriks AX = Bdan XA = B.Matriks A dan B adalah matriks-matriks yang sudah ditentukan,sedangkan X adalah matriks yang harus dicari.a.Jika A dan B matriks ordo 2 × 2, syarat apakah yang harusdipenuhi agar X dapat dicari? Berapakah ordo matriks X?b.Jika A ordo 2 × 2 dan B ordo 2 × 1, syarat apakah yangharus dipenuhi agar matriks X dapat dicari? Berapakahordo matriks X?b.XA = B‹X = BA–1 = μ˜—³–•<<μ˜—³–•<85321012= μ˜—³–•<<85149Soal Kompetensi 6• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.a.μ˜—³–•<<5423d.μ˜—³–•+32222xxxxb.μ˜—³–•<0218e.μμμ˜—³³³–•<<163251342c.μ˜—³–•<53xxf.μμμ˜—³³³–•<4326213252.Manakah di antara matriks-matriks berikut yang merupa-kan matriks nonsingular?a.μ˜—³–•4532d.μ˜—³–•<<5353b.μ˜—³–•<1234e.μμμ˜—³³³–•<<321522421c.μ˜—³–•1236f.μμμ˜—³³³–•<527314211Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui A = 2143•–³—˜μ danB = <<•–³—˜μ3121. Jika matriksC = 3A – 2B makadeterminan matriks C samadengan ....a. 50b. 44c. 40d. 36e. 32Kompetisi MatematikaDKI, 2000
77Matriks3.Tentukan nilai a dari persamaan di bawah ini.a.524a = 7d.<45aa = 9694b.<223a = –8e.243<aa = 4283<c.3243100 1<<<a = 2f.32 11022 403<<+aa = 104.Tentukan invers dari matriks-matriks berikut ini.a.A = μ˜—³–•<<2336d.D = μ˜—³–•<<3412b.B = μ˜—³–•2335e.E = <<•–³—˜μ9463c.C = μ˜—³–•<<<46245.Diketahui matriks A = 1112<•–³—˜μ dan B = 1112<•–³—˜μ. MisalkanA–1 menyatakan invers dari A dan |A| menyatakan determinandari A,tentukana.AB;f.(BA)–1;b.BA;g.A–1B–1;c.A–1;h.B–1A–1;d.|B–1|; |AT|; |2A|i.hubungan (AB)–1 dan B–1A–1;e.|(AB)–1|;j.hubungan (BA)–1 dan A–1B–1.6.Dengan metode adjoin dan transformasi baris elementer,tentukan invers dari matriks-matriks berikut.a.μμμ˜—³³³–•<<<<113234112c.μμμ˜—³³³–•<651782321b.μμμ˜—³³³–•<<<311240321d.101011110•–³³³—˜μμμ
78Khaz Matematika SMA 3 Bhs7.Tentukan nilai x agar matriks-matriks berikut singular.a.μ˜—³–•++xxx246c.xxx241•–³—˜μb.μ˜—³–•<+<10242xxd.()()()xxx<<<•–³—˜μ2142228.Tentukan matriks X jika diketahui persamaan berikut.a.μ˜—³–•<<2324X = μ˜—³–•<<2132b.Xμ˜—³–•<2144 = μ˜—³–•<<482016c.μ˜—³–•2538 – μ˜—³–•<<2131X = μ˜—³–•<<1263d.Xμ˜—³–•3142 + μ˜—³–•<1534 = μ˜—³–•<37569.Misal jumlah uang Lira dan uang Virna Rp10.000,00. JikaLira memberikan uangnya sebanyak Rp1.500,00 kepadaVirna maka banyak uang mereka akan menjadi sama. Denganmenggunakan matriks, tentukan banyak uang mereka(semula) masing-masing.10. Diketahui K = 3120•–³—˜μ dan L = 0236<•–³—˜μ. Determinan matriksKL adalah m. Jika sistem persamaan yang dinyatakan dengan211151<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxy memiliki penyelesaian (x1, y1), tentukanpersamaan garis yang melalui (x1, y1) dan bergradien m.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasHarga sebuah buku tulisRp2.700,00 dan harga se-buah bolpoin Rp3.500,00.Heny membeli 4 buku tulisdan 2 bolpoin, sedangkanAri membeli 5 buku tulisdan sebuah bolpoin. Bagai-mana bentuk perkalianmatriks dari kasus ini?Tentukan pula harga yangharus dibayarkan masing-masing anak.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasDiketahui matriksA = aaaa1234•–³—˜μ.Jika a1 merupakan penyele-saian persamaan 4(x – 2) =3(x – 4), a2 dan a3 merupa-kan akar-akar dari x2 – 4x + 3= 0 dengan a2 > a3, dan a4nilanya dua kali a3, tentukandeterminan matriks A.G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan MatriksMatriks dapat digunakan untuk mempermudah dalammenentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Padapembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untukmenyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tigavariabel.
79Matriks1. Sistem Persamaan Linear Dua VariabelBentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalahax + by = p ............................................................................ (1)cx + dy = q ............................................................................. (2)Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalambentuk matriks seperti di bawah ini.μ˜—³–•μ˜—³–•yxdcba = μ˜—³–•qpTujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabeladalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaanitu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentukAX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.μ˜—³–•μ˜—³–•<<<=μ˜—³–•qpacbdbcadyx1,asalkan ad – bc& 0.Contoh:Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikutdengan cara matriks.2x + y = 7x + 3y = 7Jawab:Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matrikssebagai berikut.μ˜—³–•=μ˜—³–•μ˜—³–•743112yxDengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriksdi atas, diperoleh sebagai berikut.μ˜—³–•yx= μ˜—³–•μ˜—³–•<<×<×742113)11()32(1= μ˜—³–•10551= μ˜—³–•21Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.Kuis• Kerjakan di buku tugasJika 233181<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxymaka 4x + 5y = ....a. –8b. –7c. –6d. –5e. –4UMPTN 1994
80Khaz Matematika SMA 3 Bhs2. Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelKalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistempersamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapacara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasidan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan inversmatriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut denganbebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabelberikut.a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalambentuk matriks seperti berikut.abcabcabcxyzddd111222333123•–³³³—˜μμμ•–³³³—˜μμμ=•–³³³—˜μμμMisalkan A = μμμ˜—³³³–•333222111cbacbacba, X = μμμ˜—³³³–•zyx, dan B = μμμ˜—³³³–•321ddd.Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A–1B. Dalamhal ini, A–1 = Adet1adj(A).Oleh karena itu, diperolehX = BAABAA)(adj . det1)(adj . det1= ́¦¥²¤£,asalkan det A& 0.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaanberikut.2x + y – z = 1x + y + z = 6x – 2y + z = 0
81MatriksJawab:Cara 1:Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencariinvers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistempersamaan linear.Dengan menggunakan operasi baris elementer.2x + y – z = 1x + y + z = 6B2 – 2B1x + y + z = 6x + y + z = 6B1CB22x + y – z = 10 – y – 3z = –11x – 2y + z = 0x – 2y + z = 0B3 – B10 – 3y + 0 = –6–B2x + y + z =6–13B3y + 3z = 11y = 2Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2ke persamaan (2) sehinggay + 3z = 11‹2 + 3z = 11‹3z = 11 – 2‹3z = 9‹z = 3Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperolehx + y + z = 6‹x + 2 + 3 = 6‹x + 5 = 6‹x = 6 – 5‹x = 1Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.Cara 2:Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentukmatriks sebagai berikut.Misalkan A = μμμ˜—³³³–•<<121111112, X = μμμ˜—³³³–•zyx, dan B = μμμ˜—³³³–•061.det A = 22111)1(111111211<<+<< = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperolehK11 = (–1)1+1M11 = 1211< = 1 – (–2) = 3K12 = (–1)1+2M12 = 1111 = –(1 – 1) = 0~~~{
82Khaz Matematika SMA 3 BhsK13 = (–1)1+3M13 = 2111< = –2 – 1 = –3K21 = (–1)2+1M21 = 1211<< = –(1 – 2) = 1K22 = (–1)2+2M22 = 1112< = 2 – (–1) = 3K23 = (–1)2+3M23 = – 2112< = –(–4 – 1) = 5Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K31 = 2,K32 = –3, dan K33 = 1 (coba tunjukkan).Dengan demikian, diperolehkof(A) = KKKKKKKKK111213212223313233313 5231•–³³³—˜μμμ=<<•–³³³—˜μμμ30Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T.Adj(A) = 30<<•–³³³—˜μμμ313 5231T = 31203 335 1<<•–³³³—˜μμμJadi, X= Adet1adj(A)Bμμμ˜—³³³–•zyx= μμμ˜—³³³–•μμμ˜—³³³–•<<06115333021391= μμμ˜—³³³–•2718991 = μμμ˜—³³³–•321Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian,himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah{(1, 2, 3)}.Soal Kompetensi 7• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaanlinear berikut.a.2x – y = 3c.6x + 2y = –12x + y = 12x – 4y = –7b.–x + 2y = 4d.2x – 3y = 74x + 3y = 173x – 6y = 10
83Matriks2.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan line-ar berikut.a.x + y + z = 2c.–2x + y – 2z = –1x – 2y + z = 19x + z = 22x + y – 2z = –12x – 2y = –2b.3x + y – z = 6d.4x – y + 4z = 85x + 3y + z = 146x – 8z = 26x – 2y + 2z = 12x + 3y – 6z = –83.Dengan memisalkan bentuk variabel yang sesuai, tentukanhimpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikutdengan metode matriks.a.132<=<yxb.341<=<yx5994=+y828=+zy432=+zx4.Jumlah dua bilangan sama dengan 105. Selisih keduabilangan itu 15. Buatlah sistem persamaannya, kemudiandengan cara matriks tentukan bilangan-bilangan tersebut.5.Jika harga 5 buah buku tulis dan sebuah pensil Rp7.000,00dan harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalahRp7.250,00. Tentukan harga 2 buah buku tulis dan 4 buahpensil.6.Diketahui dua buah bilangan. Jumlah dua kali bilanganpertama dengan tiga kali bilangan kedua sama dengan 41.Empat kali bilangan pertama dikurangi tiga kali bilangankedua sama dengan 19. Susunlah kasus di atas dalam sistempersamaan linear. Kemudian, dengan cara matriks, carilahbilangan-bilangan itu.7.Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang, yaitu X danY. Jumlah penerimaan dari 150 unit barang X dan 100 unitbarang Y sebesar Rp450.000,00. Jumlah penerimaan dari 150unit barang X dan 75 unit barang Y sebesar Rp406.250,00.Nyatakan kasus di atas dalam sistem persamaan linear.Kemudian, dengan cara matriks, tentukan besar penerimaan200 unit barang X dan 150 unit barang Y.8.Dalam suatu gedung bioskop terdapat 200 orang penonton.Harga tiap lembar karcis adalah Rp15.000,00 danRp20.000,00. Hasil penjualan karcis seluruhnya adalahKuis• Kerjakan di buku tugasJika x : y = 5 : 4 maka x dan yyang memenuhi persamaanmatriks ABC = [1.360],untuk A = 2101[], B =xy4530 25•–³³³—˜μμμ, dan C = 510•–³—˜μadalah ....a.x = 1; y = 45b.x = 45; y = 1c.x = 5; y = 4d.x = –10; y = –8e.x = 10; y = 8UMPTN 1994
84Khaz Matematika SMA 3 BhsRp3.475.000,00. Berapakah banyak karcis hargaRp15.000,00 dan harga Rp20.000,00 yang terjual?Selesaikan dengan cara matriks.9.Perbandingan umur Titi dan Dewi 8 tahun yang lalu adalah4 : 7. Perbandingan umur mereka 6 tahun yang akan datangadalah 6 : 7. Dengan cara matriks, tentukan perbandinganumur Titi dan Dewi sekarang.10. Pak Rudi dan Pak Maman berjualan jenis barang yang sama.Modal Pak Rudi Rp4.000.000,00 lebih banyak dari modalPak Maman. Jika keuntungan yang di dapat Pak Rudi 15%,sedangkan keuntungan Pak Maman 30% maka uang merekamenjadi sama banyak. Hitunglah modal Pak Rudi dan PakMaman masing-masing.Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriksjuga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metodedeterminan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk duavariabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.a.ax + by = pb.a1x + b1y+ c1z = d1cx + dy = qa2x + b2y+ c2z = d2a3x + b3y+ c3z = d3Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebutdapat diubah ke bentuk matriks berikut.μ˜—³–•=μ˜—³–•μ˜—³–•qpyxdcba, dengan A = μ˜—³–•dcba, X = μ˜—³–•yx, dan B = μ˜—³–•qp.Untuk menentukan penyelesaian persamaan matrikstersebut, terlebih dahulu kita tentukan determinannya sebagaiberikut.D = abcd = ad – bc(Determinan koefisien x dan y, dengan ele-men-elemen matriks A)Dx = pbqd = pd – bq(Ganti kolom ke-1, dengan elemen-elemen matriks B)Dy = apcq = aq – cp(Ganti kolom ke-2, dengan elemen-elemen matriks B)3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan DeterminanKuis• Kerjakan di buku tugasNilai x + y yang memenuhi211271<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxy adalah ....a. –4b. –3c. –2d. 2e. 4Kompetisi MatematikaDKI, 2000
85MatriksNilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.x = DDx; y = DDyDengan cara yang sama dapat ditentukan D, Dx, Dy, dan Dzuntuk sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.D = abcabcabc111222333Dy = adcadcadc111222333Dx = dbcdbcdbc111222333Dz = abdabdabd11 122 233 3Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.x = DDx; y = ;DDyz = DDzContoh:Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut denganmetode determinan.a.2x + y = 4b.x + y + z = 0x – 2y = –3x + y – z = –2x – y + z = 4Jawab:a.Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalambentuk matriks berikut.μ˜—³–•<=μ˜—³–•μ˜—³–•<342112yxKita tentukan nilai D, Dx, dan Dy.D = 2112< = – 4 – 1 = – 5Dx= 4132<< = – 8 – (–3) = – 5Dy = 2413< = – 6 – 4 = – 10TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasUsia Dina sekarang 8 tahunlebih tua daripada umurDiva. Pada 4 tahun yanglalu, usia Diva sama dengandua pertiga dari usia Dina.a. Buatlah sistem persama-an yang mewakili kasusdi atas.b. Susunlah sistem persa-maan yang kamu perolehdalam bentuk perkalianmatriks.c. Dengan menggunakanmatriks, tentukan usiaDina sekarang.
86Khaz Matematika SMA 3 BhsJadi, x = DDx = <<55 = 1 dan y = DDy = <<105 = 2.b.Sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat disusundalam bentuk matriks berikut.μμμ˜—³³³–•<=μμμ˜—³³³–•μμμ˜—³³³–•<<420111111111zyxKita tentukan nilai D, Dx, Dy, dan Dz.D = 11 111 1111<< = (1 + (–1) + (–1)) – (1 + 1 + 1) = – 4Dx = 01121 1411<<< = (0 + (–4) + 2) – (4 + 0 + (–2) = –4Dy = 10 112 114 1<< = (–2 + 0 + 4) – (–2 + (–4) + 0) = 8Dz = 411211011<< = (4 + (–2) + 0) – (0 + 2 + 4) = –4Dengan demikian, diperolehx = 44<<=DDx = 1,y = DDy=<84 = –2, danz = DDz=<<44 = 1.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasHarga sebuah buku tulisRp2.700,00 dan harga se-buah bolpoin Rp3.500,00.Heny membeli 4 buah bukutulis dan 2 buah bolpoin,sedangkan Ari membeli 5buah buku tulis dan sebuahbolpoin. Bagaimana bentukperkalian matriks dari kasusini? Tentukan pula hargayang harus dibayarkanmasing-masing anak.Soal Kompetensi 8• Kerjakan di buku tugasUntuk soal nomor 1–5, tentukan penyelesaiannya denganmenggunakan metode determinan.1.x + y = 12x + 4y = 1
87Matriks2.2x + 3y = 8x + y = 23.x – 2y + 3z = 102x + y – 2z = 112x + 3y – z = –14.x – 2y + z = 1–2z + y + z = –2x + y + z = 45.0,5x + 0,3y + 0,2z = 460,1x + 0,8y – 0,6z = 260,2x – 0,5y + 0,4z = 06.Jika x0 dan y0 memenuhi persamaan 3456 4xypxy<=<= ̈©ªdan y0 = p3456<< maka tentukan nilai 5x0 + 2p.7.Seseorang membeli 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil, iamembayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buah buku tulisdan 4 buah pensil, ia membayar Rp16.000,00. Buatlah modelmatematika (sistem persamaan). Kemudian, dengan caradeterminan, tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuahpensil.8.Ibu membeli 3 kg gula dan 7 bungkus teh dengan hargaRp20.050,00. Pada bulan berikutnya, Ibu kembali ke warungtersebut untuk membeli 4 kg gula dan 5 bungkus teh denganharga Rp23.050,00. Berapakah harga untuk 2 kg gula dan 3bungkus teh?9.Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranyajeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel, 3 kgsalak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00. Orangyang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harusmembayar Rp23.500. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kgsalak, dan 3 kg apel harus membayar 36.500,00. Tentukanmodel matematika (dalam bentuk sistem persamaan).Kemudian, dengan cara determinan, tentukan berapa hargaper kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga perkilogram apel?10. Harga 3 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg telur di sebuah tokoadalah Rp28.500,00. Harga 2 kg beras, 2 kg gula, dan 5 kgtelur adalah Rp46.000,00. Seseorang harus membayarRp34.000,00 untuk membeli 5 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kgtelur di toko itu.Tugas: Informasi lanjut• Kerjakan di buku tugasUntuk menambah wawasankalian tentang matriks,carilah hal-hal yang ber-kaitan dengan matriks(materi maupun tokoh-tokoh) dari media yang adadi sekelilingmu (internet,perpustakaan, dan buku-buku referensi).
88Khaz Matematika SMA 3 Bhsa.Buatlah sistem persamaan kasus di atas. Kemudian, darisistem persamaan itu, ubahlah dalam bentuk persamaanmatriks.b.Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah harga1 kg beras, harga 1 kg gula, dan harga 1 kg telur di tokotersebut?c.Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah yangharus dibayarkan jika seseorang membeli 3 kg beras, 1 kggula, dan 2 kg telur?1. Matriks adalah susunan berbentukpersegi panjang dari m × n elemen(biasanya bilangan) yang disusun dalamm baris dan n kolom.2.Jika suatu matriks mempunyai m barisdan n kolom maka matriks tersebutberordo m×n, ditulis nmA×.3.Transpose matriks A berordo m×nadalah suatu matriks yang diperolehdengan cara menukar elemen-elemenbaris menjadi elemen-elemen kolomsehingga ordonya menjadi n×m.4.Sifat-sifat yang berlaku dalam penjum-lahan matriks adalah sebagai berikut.a.Komutatif, yaitu A + B = B + A.b.Asosiatif, yaitu(A + B) + C = A + (B + C).c.Terdapat unsur identitas, yaitumatriks nol sehingga A + O = O + A= A.d.Invers penjumlahan A adalah –Asehingga A + (–A) = –A + A = O.Pada pengurangan tidak berlaku sifat-sifat tersebut.5.Hasil kali matriks A dengan skalar kadalah suatu matriks yang diperolehdengan mengalikan setiap elemendengan skalar k.6.Dua matriks A dan B dapat dikalikan jikabanyaknya kolom matriks A sama denganbanyaknya baris matriks B.7.Jika A, B, dan C adalah matriks yangdapat dijumlahkan dan dikalikan, serta kadalah skalar (bilangan real) maka ber-laku sebagai berikut.a.Tidak komutatif, yaituA×B&B×Ab.Asosiatif, yaitu(A×B) ×C = A× (B×C)c.Distributif, yaituA× (B + C) = A×B + A×C dan(A + B) ×C = A×C + B×Cd.Perkalian dengan skalar k, yaitu(kA) ×B = k(A×B)e.Terdapat unsur identitas, yaitu Isehingga A×I = I×A = A, denganA dan I matriks persegi berordosama.f.Perkalian dengan matriks O, yaituA×O = O×A = O.8.Matriks A saling invers dengan matriksB jika AB = BA = I, dengan I matriksidentitas. Jika det A = 0, matriks A tidakpunya invers dan disebut matriks singu-lar, sedangkan jika det A& 0, matriks Amempunyai invers dan disebut matriksnonsingular.Rangkuman
89Matriks1.Diketahui matriks A = <<<<•–³³³—˜μμμ424456610 3maka pernyataan berikut yang benar,kecuali ....a.–5 adalah elemen pada baris ke-2dan kolom ke-2b.10 adalah elemen pada baris ke-3dan kolom ke-2c.–4 adalah elemen pada baris ke-2dan kolom ke-1d. 6 adalah elemen pada baris ke-2dan kolom ke-3e.–2 adalah elemen pada baris ke-1dan kolom ke-22.Transpose dari matriks μ˜—³–•<<148754adalah ....a.μ˜—³–•<<754148b.μμμ˜—³³³–•<<175484c.μμμ˜—³³³–•<<175448d.μ˜—³–•<<<457841e.μμμ˜—³³³–•<<1745843.Diketahui A = μ˜—³–•<2125, B = μ˜—³–•<234k,dan C = μ˜—³–•<0529. Jika A + BT = C, nilaik adalah ....a.–4b.4c.–6d.6e.54.Matriks A = 01 121 315 6<<<•–³³³—˜μμμxx adalahmatriks singular. Nilai 3x2 + 2x adalah....a.1b.3c.5d.–5e.–1RefleksiMenurut kalian, manfaat apa yangdiperoleh setelah mempelajari matriks?Bagaimana aplikasinya dalam kehidupansehari-hari? Benarkah matriks dapatdikembangkan untuk mempelajari modelmatematika sistem persamaan, baik linearmaupun nonlinear? Jelaskan.Tes Kemampuan Bab II• Kerjakan di buku tugasA. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.
90Khaz Matematika SMA 3 Bhs5.Diketahui matriks A = μ˜—³–•<1121,B = μ˜—³–•2513, C = μ˜—³–•<+<xyx3412.Jika AB–1 = C, nilai 7x + 2y adalah ....a.2d.20b.3e.30c.146.Diketahui persamaan 123312xyxy+=<= ̈©««ª««Nilai x + y adalah ....a.1d.4b.2e.5c.37.DiketahuiP = μ˜—³–•<<xx9310;Q = μ˜—³–•<<<5232xxJika det P = 2 det Q, nilai x adalah ....a.1b.–1c.0d.13e.328.Nilai determinan dari matriks023204340<<<•–³³³—˜μμμsama dengan .... (Sipenmaru 1985)a.0b.1c.2d.3e.59.Nilai p yang memenuhi persamaanmatriks22113624121110124<•–³—˜μ+<<•–³—˜μ=<•–³—˜μ•–³—˜μpadalah .... (SPMB 2004)a.–2b.–1c.0d.1e.210. Diketahui sistem persamaan linear«ª«© ̈=+<=++<=<+92352223zyxzyxzyxNilai x + y + z adalah ....a.–1b.0c.1d.2e.311. Nilai-nilai x agar matriks 554xx•–³—˜μ tidakmempunyai invers adalah ....a.4 atau 5b.–2 atau 2c.–4 atau 5d.–6 atau 4e.012. Nilai a yang memenuhi persamaanabcd•–³—˜μ•–³—˜μ<•–³—˜μ=•–³—˜μ122121430012adalah ....a.–2b.–1c.0d.1e.2
91Matriks13. Titik potong dari dua garis yang meme-nuhi persamaan matriks<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μ231245xy adalah ....a.(1, –2)b.(–2, 2)c.(–1, –2)d.(1, 2)e.(2, 1)14. Diketahui persamaanxyz25216572121<•–³³³—˜μμμ+<<•–³³³—˜μμμ=<<<•–³³³—˜μμμ. Nilai z = ....a.–2b.3c.0d.6e.3015. Jika 413127115720aaab•–³—˜μ<+•–³—˜μ=•–³—˜μmaka b = ....a.1b.2c.3d.4e.516. Jika matriksABaCb=<•–³—˜μ=•–³—˜μ=<•–³—˜μ212311114,, dan memenuhi AB = C maka |a – b| = ....a.2b.3c.4d.5e.617. Matrik X yang memenuhi persamaan27533879•–³—˜μ=<<•–³—˜μX adalah ....a.2312<<•–³—˜μb.2312<<•–³—˜μc.3122<<•–³—˜μd.<<•–³—˜μ1232e.2313<•–³—˜μ18. Jika I matriks satuan dan matriks A =2143<•–³—˜μ sehingga A2 = pA + qI makap + q sama dengan ....a.15b.10c.5d.–5e.–1019. Jika M = <<•–³—˜μ2513 dan K×M =0123<<•–³—˜μmaka matriks K = ....a.4321<<•–³—˜μb.1234<•–³—˜μc.<<•–³—˜μ1234d.3412<<•–³—˜μe.1234•–³—˜μ
92Khaz Matematika SMA 3 Bhs20. Jika invers matriks M adalahM–1 = 15<<•–³—˜μ1423maka M xy•–³—˜μ = ....a.342xyxy<<+•–³—˜μb.342xyxy<<<•–³—˜μc.342xyxy+<<•–³—˜μd.432xyxy<<<•–³—˜μe.<<<•–³—˜μ234xyxy21. Diketahui persamaan matriks13254312•–³—˜μ<<•–³—˜μ = <•–³—˜μ+•–³—˜μ123211abb.Nilai a dan b adalah .... (UN 2004)a.a = 1, b = 2b.a = 2, b = 1c.a = 5, b = –2d.a = –2, b = 5e.a = 4, b = –122. Diketahui matriks A = 3025•–³—˜μ, B =xy<•–³—˜μ11, dan C = 01155<<•–³—˜μ, AT adalahtranspose dari A. Jika AT×B = C makanilai 2x + y = .... (UN 2006)a.–4b.–1c.1d.5e.723. Jika 324420<<•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxy maka x + 2y =.... (UAN 2003)a.6b.5c.4d.3e.224. Diketahui matriks A = 6282<•–³—˜μ, B =1708•–³—˜μ, dan C = 253 7<+•–³—˜μabc. Jika 12A+ C = B maka nilai a + b + c = .... (UN2004)a.3d.14b.8e.15c.925. Diketahui matriks A = 61012xx<<•–³—˜μ danB = x253•–³—˜μ. Jika AT = B–1 dengan AT =transpose matriks A maka nilai 2x = ....(UN 2006)a.–8d.4b.–4e.8c.1426. Jika diketahuiab<•–³—˜μ•–³—˜μ=<•–³—˜μ325243213712–maka a + b = ....a.1b.2c.3d.4e.5
93Matriks27. Diketahui matriks A = xy xyxy+<•–³—˜μ,B = 12312<<•–³—˜μxy, dan AT = B, denganAT menyatakan transpose dari A. Nilaix + 2y adalah .... (UN 2007)a.–2b.–1c.0d.1e.228. Jika A = 7652k•–³—˜μ, A–1 merupakan matriksinvers dari A, A dan A–1 mempunyaideterminan yang sama dan positif makanilai k sama dengan ....a.353b.12c.343d.<343e.–1229. Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BTadalah transpose matriks B), denganA = abc423•–³—˜μ dan B =23217cb aab<++•–³—˜μ. Nilai a + b + c = ....(UN 2007)a.6d.15b.10e.16c.1330. Jika M matriks berodo 2 × 2 danmemenuhiM 21432114 10•–³—˜μ=<•–³—˜μmaka matriks M2 adalah ....a.3215<•–³—˜μd.254215<<•–³—˜μb.94125•–³—˜μe.278415<<•–³—˜μc.274211<<•–³—˜μ1.Diketahui A = μ˜—³–•7532. Tentukana.AT;d.AAT;b.A2;e.A–1;c.3A2 – A;f.(A2)–1.2.Diketahui P = μ˜—³–•<2101, Q = μ˜—³–•ba21,dan PQ = μ˜—³–•<<<1511.a.Tentukan nilai a dan b.b.Tentukan matriks R sehingga RPQ= QP.3.Diketahui matriks A = μ˜—³–•<<2245.Jika k det AT = det A–1. Tentukana.k + 1;b.k2 + k – 1.4. Diketahui sistem persamaan linearberikut.B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut denganbenar.
94Khaz Matematika SMA 3 Bhs231042100xyxy<<=+<= ̈©«ª«Tentukan nilai 3x + 4y denganmenggunakan metode matriks.5.Sepuluh tahun yang lalu, perbandinganumur Amin dan Nina adalah 2 : 3.Perbandingan umur mereka pada saat ini4 : 5. Buatlah model matematikanyadalam sistem persamaan. Kemudian, daripersamaan itu, ubahlah ke bentukmatriks. Dengan cara matriks, tentukanperbandingan umur mereka 10 tahunyang akan datang.6.Diketahui matriks A = 2314<•–³—˜μ. Jika A2 +aA + bI = 0, dengan I adalah matriksidentitas, tentukanlah nilai a dan b.7.Jika A = 5294<<•–³—˜μ dan B = 21<+•–³—˜μxxydan AB adalah matriks satuan, tentukannilai x – y.8.Jika A = 1224•–³—˜μ dan B = 1232•–³—˜μ makatentukan matriks (AB)–1AT.Kata BijakDengan memiliki keyakinan, keuletan, dan keberanian makatidak ada yang menghalangi Anda untuk mencapai keber-hasilan.
95Latihan Ulangan Umum Semester 11.Nilai maksimum fungsi sasaran z = 3x+ 6y + 3 dengan syarat 4x + 5y) 20; 2x+ 7y) 14; x* 0, dan y* 0 adalah ....a.29d.20b.26e.17c.232.Jika (x, y) terletak pada daerah yangdibatasi oleh x* 0, y* 0, dan y + 1 )x)2 – y maka nilai terbesar dari 2x + yadalah ....a.10b.6,5c.4,5d.4e.3,53.Nilai minimum dari z = 2x + 3y untuk (x, y)benda pada daerah yang diarsir adalah ....a.5b.10c.12d.15e.255.Perhatikan gambar berikut.O34521345XYO3262146XYQPSTRPada daerah yang diarsir, fungsi sasaranz = 10x + 5y mencapai nilai minimum dititik ....a.Pb.Qc.Rd.Se.T6.Nilai maksimum dari z = 10x + 20y dengankendala x*y 0, y* 0, x + 4y) 120, x + y) 60 adalah .... (SPMB 2004)a.400b.500c.600d.700e.8007.Jumlah dari dua bilangan real tak negatifx dan 2y tidak lebih besar daripada 10.Jika y + 8 tidak lebih kecil daripada 2x,maka nilai maksimum dari 3x + yadalah ....a.4b.12c.15d.18e.20Latihan Ulangan Umum Semester 1• Kerjakan di buku tugasA. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.4.Nilai maksimum dari z = x + y – 6 yangmemenuhi3x + 8y) 3407x + 4y) 280x* 0y* 0adalah ....a.48b.49c.50d.51e.52
96Khaz Matematika SMA 3 Bhs8.Nilai maksimum z = 5x + 10 di daerahyang diarsir adalah .... (UMPTN 1997)a.60b.40c.36d.20e.169.Tukang jahit pakaian mempunyai kainpolos 25 m dan kain batik 20 m akanmembuat baju dengan 2 model. Model Imemerlukan 1 m kain polos dan 2 m kainbatik. Model II memerlukan 2 m kainpolos dan 1 m kain batik. Jumlah totalproduk pakaian yang dihasilkanmencapai maksimum jika Model I danModel II masing-masing jumlahnya ....(UMPTN 2000)a.10 dan 5d.7 dan 8b.5 dan 10e.9 dan 6c.8 dan 710. Nilai minimum dari z = 3x + 6y yangmemenuhi syarat:4x + y > 20x + y < 20x + y > 10x, y > 0adalah .... (UMPTN 2001)a.50d.20b.40e.10c.3011. Diketahui model matematika berikut.x + y) 62x + 3y)15x* 1y* 2Nilai maksimum untuk 3x + 4y = ....a.9d.12b.10e.13c.1112. Seorang pemilik toko sepatu inginmengisi tokonya dengan sepatu laki-lakipaling sedikit 100 pasang dan sepatuwanita paling sedikit 150 pasang. Tokotersebut dapat memuat 400 pasangsepatu. Keuntungan tiap pasang sepatulaki-laki Rp1.000,00 dan setiap pasangsepatu wanita Rp500,00. Jika banyaknyasepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150pasang, maka keuntungan terbesardiperoleh .... (UMPTN 1990)a.Rp200.000,00b.Rp250.000,00c.Rp275.000,00d.Rp300.000,00e.Rp350.000,0013. Luas daerah parkir 176 m2. Luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20m2. Kapasitas maksimum tempat parkiritu 20 mobil. Biaya parkir untuk mobilsedan Rp2.000,00 per jam dan untuk busRp4.000,00 per jam. Jika dalam 1 jamtidak ada kendaraan yang pergi dan datangmaka hasil maksimum tempat parkir ituadalah ....a.Rp34.500,00d.Rp52.000,00b.Rp45.000,00e.Rp54.500,00c.Rp50.000,0014. Seorang pedagang kaki lima menyedia-kan uang Rp165.000,00 untuk membelimajalah jenis A dengan hargaRp2.000,00 per eksemplar dan majalahjenis B dengan harga Rp5.000,00 pereksemplar. Jumlah majalah jenis A yangia beli tidak kurang dari 3 kali jumlahmajalah jenis B. Ia mengambilkeuntungan Rp300,00/eksemplar ma-jalah jenis A dan Rp400,00/eksemplarmajalah jenis B. Jika barang-barang yangia beli dengan cara-cara tersebut terjualhabis, keuntungan maksimum yangdiperoleh pedagang kaki lima itu adalah ....a.Rp16.200,00d.Rp24.800,00b.Rp18.600,00e.Rp25.200,00c.Rp22.500,00
97Latihan Ulangan Umum Semester 115. Misalkan suatu perguruan tinggi dalammenjaring calon mahasiswanya dilaku-kan dengan tes Matematika dan BahasaInggris. Calon itu dinyatakan lulus jikaMatematika memperoleh nilai tidakkurang dari 7 dan tes Bahasa Inggrisdengan nilai tidak kurang dari 5,sedangkan jumlah nilai Matematika danBahasa Inggris tidak boleh kurang dari13. Nayla, calon mahasiswa perguruantinggi itu, memiliki nilai sebagai berikut.Jumlah dua kali nilai Matematika dantiga kali nilai Bahasa Inggris adalah 30.Dengan keadaan yang demikian makaNayla ....a.pasti ditolakb.pasti diterimac.diterima, asalkan nilai Matema-tikanya lebih dari 9d.diterima, asalkan nilai BahasaInggrisnya tidak kurang dari 5e.diterima, hanya jika nilai BahasaInggrisnya 616. Jika B = <<•–³—˜μ2513 dan AB = 0123<<•–³—˜μmaka matriks A = ....a.4321<<•–³—˜μb.1234•–³—˜μc.<<•–³—˜μ1234d.3412<<•–³—˜μe.1234<•–³—˜μ17. Misalkan |A| adalah determinan darimatriks A. Diberikan A = 2310•–³—˜μ. Nilaidari |A–1|4 = ....a.121d.1b.81e.181c.418. Misalkan persamaan matriks311281•–³—˜μ•–³—˜μ=•–³—˜μxy dapat ditulis AX = B.Matriks |A|B, untuk |A| determinan dariA adalah ....a.162•–³—˜μb.243•–³—˜μc.4 0964.•–³—˜μd.32 7685.•–³—˜μe.262 1446.•–³—˜μ19. Misalkan diberikan matriksA = 3412<•–³—˜μ. Jika |A| menyatakandeterminan dari matriks A dan A–1menyatakan invers dari matriks A maka||||AA<1 = ....a.–100b.–1c.0d.10e.100
98Khaz Matematika SMA 3 Bhs20. Misalkan diberikan matriks A =1243<•–³—˜μ. Matriks A3 = ....a.94817<<•–³—˜μb.<<•–³—˜μ7306067c.<<<•–³—˜μ7306067d.17498<•–³—˜μe.<<•–³—˜μ9481721. Jika A = 3522<<•–³—˜μ dan AB = I, dengan Imatriks satuan maka B = .... (UMPTN1998)a.<<•–³—˜μ2253b.<<•–³—˜μ2523c.<<•–³³³—˜μμμ12125434d.<<•–³³³—˜μμμ12541334e.12541234<<•–³³³—˜μμμ22. Jika A = 3512<<•–³—˜μ, ATadalah transposedari matriks A dan A-1 adalah invers darimatriks A maka AT + A-1 = .... (SPMB2002)a.5461<<•–³—˜μb.1661<•–³—˜μc.1441<<•–³—˜μd.5445<<<•–³—˜μe.<<•–³—˜μ544523. Jika bilangan real a, b, dan c memenuhipersamaanabc1012110011121•–³³³—˜μμμ<<•–³³³—˜μμμ+<•–³³³—˜μμμ=•–³³³—˜μμμmaka a + b + c = .... (SPMB 2004)a.14b.12c.0d. 1e.224. Jika 413127115720aaab•–³—˜μ<+•–³—˜μ=•–³—˜μmaka nilai b = ....a.1d.4b.2e.5c.3
99Latihan Ulangan Umum Semester 125. Diketahui matriks A = xy11<•–³—˜μ,B = 3210•–³—˜μ, dan C = 1012<<•–³—˜μ.Nilai x + y yang memenuhi persamaanAB – 2B = C adalah ....a.0d.8b.2e.10c.626. Diketahui matriks A = 1abbc+•–³—˜μ,B = acd<<•–³—˜μ10, dan C = 1011•–³—˜μ.Jika A + BT = C2, dengan BT notasi untuktranspose matriks B maka nilai d = ....a.–1b.–2c.0d.1e.227.AT adalah notasi untuk transpose darimatriks A.Jika C = 47171727<<•–³—˜μ, B = 4228•–³—˜μ, dan A =C–1 maka determinan dari matriks ATBadalah ....a.–196b.–188c.188d.196e.21228. Nilai t yang memenuhi tt<<<<2341 = 0adalah ....a.–2b.2e.–2 dan 2d.5e.–2 dan 529. Jumlah akar-akar persamaan21 222xxx<++ = 0 adalah ....a.<312b.<12c.0d.12e.31230. Jika persamaan garis lurus yang dinya-takan oleh 111123xya = 0 memilikigradien 2, nilai a = ....a.0b.1c.2d.–1e.12B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1.Gambarkan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dari modelmatematika berikut.–2x + 3y* 6x + y* 26x + 5y < 30x* 12.Suatu industri rumah tangga mem-produksi dua jenis roti, yaitu roti jenis Adan roti jenis B. Roti jenis A memerlukan150 g tepung dan 50 g mentega. Rotijenis B memerlukan 75 g tepung dan75 g mentega. Banyaknya tepung yangtersedia adalah 2,25 kg, sedangkan
100Khaz Matematika SMA 3 Bhsbanyaknya mentega yang tersedia adalah1,25 kg. Pemilik industri rumah tanggaitu ingin membuat kedua jenis rotitersebut sebanyak-banyaknya. Buatlahmodel matematika dari masalah tersebut.3.Diketahui daftar belanja dan daftar hargapada tabel berikut.Daftar 2Buku4.000Pensil3.000HargaBarangDaftar 1Rina107Asti85BukuPensilPembeliTentukan jumlah uang yang harusdikeluarkan Rina dan Asti. Gambarkandengan metode matriks.4.Diketahui B = 3120•–³—˜μ, C = 0236<•–³—˜μdan determinan dari matrik B. Jika garis2x – y = 5 dan x + y = 1 berpotongan dititik A, tentukan persamaan garis yangmelalui A dan bergradien k.5.Jika matriks A = 1423•–³—˜μ, tentukan nilaix yang memenuhi persamaan |A – xI| = 0dengan I matriks satuan dan |A – xI|determinan dari matriks A – xI.